wie extracten?

[Ducks]

Werte Gemeinde,
es gibt immer wieder die Frage, wie am besten zu extrahieren sei, wenn wir denn die nuts oder Vergleichbares halten. Hierzu schreibt der große Vorsitzende Sklansky im Standardwerk NLHLT+P unter der Überschrift "playing the nuts on the river", was man so erwartet: er nimmt mehrere betsizes mit geschätzten Wahrscheinlichkeiten gecallt zu werden, rechnet den EV aus und nimt die size mit dem größten EV. Ich habe mir mal ein paar Gedanken gemacht, wie man das verallgemeinern könnte und stelle euch selbige hiermit vor.
Wer mathophob ist, wird sich winden; es ist aber ziemlich elementar, sieht nur gemein aus.
Hier isses:
Im pot liegen A $. Wir setzen x $ und haben den EV von E(x)=(A+x)*w(x), wobei w(x) die Wahrscheinlichkeit ist, dass die bet gecallt wird. E(x) soll optimiert werden.
Wir machen die Annahme, dass eine allin bet mit der Wahrscheinlichkeit wAI gecallt wird und die Funktion w(x) sich zwischen x=0 und x=AI linear verhält. D.h., dass sich die Bereitschaft, x zu callen, proportional zur Höhe von x verringert. Das scheint plausibel.
Nun wollen wir E optimieren, sprich ein xopt finden mit E(xopt)=maximal. Mit der Linearitätsannahme ist E differenzierbar und wir suchen xopt mit dE/dx=0
<=> 0=w(x)+(A+x)*dw/dx.

Mit den genannten Randbedingungen finden wir w(x)=1+x*(wAI-1)/AI
<=> dw/dx=(wAI-1)/AI

Alles zusammen gibt 0=w(x)+(A+x)*(wAI-1)/AI
bzw 0=1+x*(wAI-1)/AI + (A+x)*(wAI-1)/AI

Dies meint 0= x*( (wAI-1)/AI)*2+1+A*(wAI-1)/AI
oder
xopt= (-1 – A*( wAI-1)/AI)/(2*(wAI-1)/AI))
(wAI muß <1 sein, für wAI=1 ist die Lösung trivial, er callt immer und wir setzen AI )

Sonst: xopt= -AI/(2*(wAI-1) ) + A/2

bzw xopt = AI/(2*(1-wAI)) + A/2

Dies hat interessante Implikationen:
1.wenn wAI >= 0.5 ist, ergäbe sich ein xopt > AI, und eine triviale Grenzwertbetrachtung ergibt, daß dann IMMER AI die beste bet ist. Also: schätzen wir seine Wahrscheinlichkeit AI zu callen auf größer 0.5 ein , gehen wir allin
2.ist der Reststack kleiner gleich A/2, ist ebenfalls AI das Beste.
3.für zB wAI=k/10 mit k=0,1,2,3,4 (Verständnisfrage: warum fehlen hier absichtlich 5 bis 10 ?)
ergibt sich xopt=A/2 + AI*5/(10-k). Der Faktor an AI ist dann 5/10, 5/9, 5/8, 5/7, 5/6. Erwartungsgemäß hängt das Optimum vom stack und potgröße ab. Für z.B. k=1, also er callt nur jedes zehnte allin, hieße das xopt= A/2 + AI*0.55. Runden wir das aus Gründen der Vereinfachung mal auf 0,5 ab, ist xopt= 0,5*(A+AI). Ist hier AI (also der Reststack) kleiner als A, wieder allin, ist er größer als A, nehmen wir das arithmetische Mittel.

Zusammengefaßt: unter Annahme einer linearen Abnahme seiner Bereitschaft, ein AI zu callen , verfahren wir so:

wird er mehr als jedes zweite Mal AI callen, gehen wir allin

ist der stack kleiner als halbe potgröße, gehen wir allin

wird er nur selten ein allin callen und stack>pot, nehmen wir das arithmetische Mittel aus stack und pot

ist halber pot < stack < pot oder w(call allin) irgendwo zwischen 0,1 und 0,4, dann fragen wir nochmal.

Die Annahme der linearen Abnahme seiner Bereitschaft zu callen mit steigender betsize, kann verallgemeinert werden, indem man zB ein Polynom 2.Grades nimmt, also beschreibt, daß w(callen) erst langsam und dann schneller abnimmt oder umgekehrt. Das wird dann unübersichtlich, bleibt aber elementar.

Das ist doch schon mal eine Aussage.

[Flixxx]

mach n pdf mit latex draus und ich schaus mir an. das is unlesbar.

[sixhigh]

Hi Ducks! Interessantes Post.

Lass mich trotzdem eine Prämisse in Frage stellen: Ich würde deutlich widersprechen, dass der Wert w(x) (i.E. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bet der Größe x gecallt wird) linear sinkt oder durch Polynome n-ten Grades dargestellt werden kann. Ich würde sogar widersprechen, dass es notwendig monton fällt. Es gibt Spieler, die bei großen Bets eher einen Bluff vermuten als bei kleinen und eher bereit sind einen großen Bet mit einer marginalen Hand zu callen.

Aber selbst unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bet gecallt wird monoton mit der Größe des Bets sinkt, denke ich, dass w(x) sehr viel eher verschiedene signifikante Sprungstellen haben wird.

Nehmen wir ein triviales Beispiel: Du hast die Nutstraight auf dem River und es ist kein Flush oder Boat möglich. Dann wird dein Gegner dich mit Sets oder kleineren Straßen bis zu einem Betrag in Höhe von (sagen wir mal) dem Pot auszahlen und jeden weiteren Betrag nur noch mit der Nutstraight callen. Aber dann callt er natürlich _jeden_ Betrag.

Nicht ganz so triviales Beispiel: Du hast das Nutboat auf dem River und es ist in etwa so viel Geld in den Stacks übrig, wie im Pot ist. Dann wird es (meiner Erfahrung nach) keinen Unterschied machen, ob du 3/4 des Pottes setzt oder alles was übrig ist. Es macht für den Gegner einfach psychologisch keinen Unterschied mehr.

[Ducks]

Hallo 6high, vollkommen richtig. Meine Annahme der linearen Abnahme der Bereitschaft zu callen, ist sicher nur auf eine bestimmte Situation anwendbar. In anderen Situationen (er hat die second nuts oder glaubt uns nicht--die Wahrscheinlichkeit wird in der Nähe von 1 bleiben, oder er ist furchtsam, dann vielleicht was mit quadratischer Abnahme usw. Für jede dieser Schätzungen des Verhaltens ergibt sich natürlich eine neue Berechnung, und je nichtlinearer es wird, umso kompliziertere. Ich fands ganz bemerkenswert, daß im einfachsten Fall (linear, was sicher gelegentlich als sinnvolle Annahme herhalten kann), eine verwertbare Angabe zur optimalen betsize abgeleitet werden kann. Aber schon der quadratische Fall wird für "Handbetrieb" sehr unbequem auszurechnen. Ich bin dabei, folgende Idee zu verfolgen: die möglichen betsizes sind ja nicht kontinuierlich, sondern schreiten diskret in bigblind-Einheiten voran. Wenn man mal von einer stack-Tiefe von 50BB ausgeht, muß man 50 verschiedene Wahrscheinlichkeiten annehmen und für jedes 50-tupel das Optimum ausrechnen. Das geht natürlich nur mit Optimierungsprogrammen, wenn man solche hat, kann ma untersuchen, inwieweit Schwankungen in den Wahrscheinlichkeiten Schwankungen im Optimum nach sich ziehen, oder ob es einen wie auch immer gearteten schmalen Bereich für die optimale betsize gibt, auf den der Großteil der 50tupel abgebildet wird. Das ginge dann in Richtung "bester Kompromiss".