wie extracten?

[Ducks]

Werte Gemeinde,
es gibt immer wieder die Frage, wie am besten zu extrahieren sei, wenn wir denn die nuts oder Vergleichbares halten. Hierzu schreibt der große Vorsitzende Sklansky im Standardwerk NLHLT+P unter der Überschrift "playing the nuts on the river", was man so erwartet: er nimmt mehrere betsizes mit geschätzten Wahrscheinlichkeiten gecallt zu werden, rechnet den EV aus und nimt die size mit dem größten EV. Ich habe mir mal ein paar Gedanken gemacht, wie man das verallgemeinern könnte und stelle euch selbige hiermit vor.
Wer mathophob ist, wird sich winden; es ist aber ziemlich elementar, sieht nur gemein aus.
Hier isses:
Im pot liegen A $. Wir setzen x $ und haben den EV von E(x)=(A+x)*w(x), wobei w(x) die Wahrscheinlichkeit ist, dass die bet gecallt wird. E(x) soll optimiert werden.
Wir machen die Annahme, dass eine allin bet mit der Wahrscheinlichkeit wAI gecallt wird und die Funktion w(x) sich zwischen x=0 und x=AI linear verhält. D.h., dass sich die Bereitschaft, x zu callen, proportional zur Höhe von x verringert. Das scheint plausibel.
Nun wollen wir E optimieren, sprich ein xopt finden mit E(xopt)=maximal. Mit der Linearitätsannahme ist E differenzierbar und wir suchen xopt mit dE/dx=0
<=> 0=w(x)+(A+x)*dw/dx.

Mit den genannten Randbedingungen finden wir w(x)=1+x*(wAI-1)/AI
<=> dw/dx=(wAI-1)/AI

Alles zusammen gibt 0=w(x)+(A+x)*(wAI-1)/AI
bzw 0=1+x*(wAI-1)/AI + (A+x)*(wAI-1)/AI

Dies meint 0= x*( (wAI-1)/AI)*2+1+A*(wAI-1)/AI
oder
xopt= (-1 – A*( wAI-1)/AI)/(2*(wAI-1)/AI))
(wAI muß <1 sein, für wAI=1 ist die Lösung trivial, er callt immer und wir setzen AI )

Sonst: xopt= -AI/(2*(wAI-1) ) + A/2

bzw xopt = AI/(2*(1-wAI)) + A/2

Dies hat interessante Implikationen:
1.wenn wAI >= 0.5 ist, ergäbe sich ein xopt > AI, und eine triviale Grenzwertbetrachtung ergibt, daß dann IMMER AI die beste bet ist. Also: schätzen wir seine Wahrscheinlichkeit AI zu callen auf größer 0.5 ein , gehen wir allin
2.ist der Reststack kleiner gleich A/2, ist ebenfalls AI das Beste.
3.für zB wAI=k/10 mit k=0,1,2,3,4 (Verständnisfrage: warum fehlen hier absichtlich 5 bis 10 ?)
ergibt sich xopt=A/2 + AI*5/(10-k). Der Faktor an AI ist dann 5/10, 5/9, 5/8, 5/7, 5/6. Erwartungsgemäß hängt das Optimum vom stack und potgröße ab. Für z.B. k=1, also er callt nur jedes zehnte allin, hieße das xopt= A/2 + AI*0.55. Runden wir das aus Gründen der Vereinfachung mal auf 0,5 ab, ist xopt= 0,5*(A+AI). Ist hier AI (also der Reststack) kleiner als A, wieder allin, ist er größer als A, nehmen wir das arithmetische Mittel.

Zusammengefaßt: unter Annahme einer linearen Abnahme seiner Bereitschaft, ein AI zu callen , verfahren wir so:

wird er mehr als jedes zweite Mal AI callen, gehen wir allin

ist der stack kleiner als halbe potgröße, gehen wir allin

wird er nur selten ein allin callen und stack>pot, nehmen wir das arithmetische Mittel aus stack und pot

ist halber pot < stack < pot oder w(call allin) irgendwo zwischen 0,1 und 0,4, dann fragen wir nochmal.

Die Annahme der linearen Abnahme seiner Bereitschaft zu callen mit steigender betsize, kann verallgemeinert werden, indem man zB ein Polynom 2.Grades nimmt, also beschreibt, daß w(callen) erst langsam und dann schneller abnimmt oder umgekehrt. Das wird dann unübersichtlich, bleibt aber elementar.

Das ist doch schon mal eine Aussage.